Прежде чем приступить к рассмотрению Полярного (параллактического) треугольника, необходимо обратиться к сферической тригонометрии и рассмотреть основные свойства сферических треугольников.
Сферическим треугольником называется фигура, образованная тремя дугами окружностей больших кругов, попарно соединяющих три точки.
Сферический треугольник ABC
По предложению академика Леонарда Эйлера, для практических целей астрономии, принято рассматривать сферические треугольники, все стороны и углы которого меньше половины большого круга, то есть, их величины менее 180°. Такие сферические треугольники называют Эйлеровыми.
Свойства Эйлерова сферического треугольника:
1. Каждая сторона образована Дугой Большого Круга.
2. Каждый угол образован дугами двух больших кругов, которые являются прилежащими сторонами данного угла.
3. Углы и стороны измеряются в градусах и минутах.
4. Сумма сторон больше 0°, но меньше 360°.
5. Любая сторона меньше суммы, но больше разности двух других сторон.
6. Сумма углов больше 180°, но меньше 540°.
7. Ни один из углов, и ни одна из сторон, не может быть больше 180°.
8. Сумма двух углов, минус третий, всегда меньше 180°.
9. Напротив большего, равного или меньшего угла (стороны), лежит большая, равная или меньшая сторона (угол).
10. Две или более стороны, и угла, могут быть прямыми и равняться 90°.
11. Если разность двух сторон (углов) больше, равна или меньше нуля, то и разность противолежащих им углов (сторон) больше, равна или меньше нуля.
12. Если сумма двух сторон (углов) больше, равна или меньше 180°, то и сумма противолежащих им углов (сторон) больше, равна или меньше 180°.
В сферической тригонометрии рассмотрение сферического треугольника сводится к его решению. Решение заключается в том, чтобы, используя три известных элемента, получить неизвестные элементы.
Для решения пользуются основными формулами сферической тригонометрии, выведенными для решения сферических треугольников, углы и стороны которых менее 180°.
К ним относятся:
Формула синусов
Формула косинусов
Формула для четырёх подряд лежащих элементов
Формула пяти элементов
Формула синусов сторон:
Во всяком сферическом треугольнике синус сторон прямо пропорционален синусам противолежащих им углов.
Формула косинуса стороны:
Во всяком сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон, плюс произведение синусов этих же сторон на косинус угла между ними.
Формула для четырёх подряд лежащих элементов:
Во всяком сферическом треугольнике произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла, равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны минус произведение косинусов средних элементов.
Формула пяти элементов:
Во всяком сферическом треугольнике произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла, равно произведению косинуса стороны противолежащего угла на синус третьей стороны, минус произведение сторон на оборот и на косинус угла между ними.
Для нужд Мореходной астрономии и удобства вычислений, основные формулы преобразованы, например:
Формула косинуса стороны (Зенитного расстояния светила):
Формула четырёх рядом лежащих элементов (Азимута светила):
Эти две формулы являются уравнениями связи в зенитных и азимутальных способах астрономических определений.
Рассмотрение Полярного (параллактического) треугольника.
Полярный (параллактический) треугольник
Полярным (параллактическим) треугольником называется сферический треугольник, вершинами которого являются Зенит (Z), Повышенный полюс мира (PN) и Место светила (С).
Полярный треугольник образуется от пересечения трёх больших кругов: Меридиана наблюдателя, Вертикала светила и Меридиана светила.
Название Параллактический, треугольник происходит от названия параллактического угла, образуемого при небесном светиле, от пересечения вертикала светила и часового круга (меридиана светила). Во времена, когда угол получил свое название, меридиан светила имел еще два названия: круг склонения и часовой круг и хотя все три названия относились к одному большому кругу, каждое из них употреблялось в особом случае, например, часовым кругом его называли, когда по нему определяли время на каком-либо меридиане.
Параллакс от греческого «параллаксис» (παράλλαξις) и «параллаги» (παραλλαγή), что можно перевести как «изменение». Так как положение небесного светила на небесной сфере непрерывно изменяется, то непрерывно изменяются его азимут и часовой угол, а вместе с ними изменяется форма сферического треугольника, отсюда и бесконечный «параллаксис».
В зависимости от широты места наблюдателя, за постоянную вершину треугольника принимается:
- В северном полушарии — Повышенный Северный полюс мира
- В южном полушарии — Южный полюс мира.
Сторонами Полярного треугольника являются:
Полярный треугольник имеет три сферических угла:
По правилам Эйлеровых сферических треугольников:
Азимут (А) — Астрономический Азимут светила в полукруговом счете, от 0° до 180°.
Практический часовой угол (t), Вестовый (W) или Остовый (E или Ost), обязательно меньше 180° (поэтому он и называется практический).
Правила определения знаков тригонометрических функций:
Для Астрономического Азимута светила:
Если Азимут светила А < 90°, то все его тригонометрические функции положительны.
Если Азимут светила А > 90°, то sin(А) и cosec(А) положительны, другие функции отрицательны.
Для Практического часового угла:
Если Практический часовой угол t < 90°, то все его тригонометрические функции положительны.
Если Практический часовой угол t > 90°, то sin(t) и cosec(t) положительны, все другие функции отрицательны.
Как следует из свойств Эйлерова сферического треугольника, Полярный треугольник любого небесного светила может быть косоугольным, прямоугольным и четвертным (у которого одна из сторон равна 90°).
Полярный треугольник обладает великолепным свойством, позволяющим связать вместе:
Географические координаты места наблюдателя на земле — широту и долготу.
Экваториальные координаты светила – склонение светила и местный часовой угол светила.
Горизонтальные координаты светила – высоту и азимут светила.
Данное свойство Полярного треугольника играет важнейшую роль в различных вопросах и задачах Мореходной астрономии и, в частности, используется для определения места наблюдателя по небесным светилам.
Необходимо особо отметить, что в виду непрерывного суточного движения светил, элементы их Полярного треугольника непрерывно меняются и в каждый последующий момент времени форма полярного треугольника будет иная.
В Мореходной астрономии, для решения задач Полярного (параллактического) треугольника, применяются следующие формулы:
Для вычисления счислимой высоты в способе высотных линий:
Для вычисления счислимой высоты через зенитное расстояние:
Для вычисления склонения светила:
Для вычисления счислимой широты места судна:
Для вычисления местного часового угла:
Для вычисления часового угла светила, находящегося на первом вертикале, при А = 90°:
Для вычисления времени истинного восхода и захода светила, при h = 0:
Для вычисления азимута восхода или захода светила, при h = 0:
Для вычисления высоты светила на первом вертикале, при А = 90°:
Для вычисления азимута (истинного пеленга) светила при определении поправки компаса:
Для вычисления азимута в способе высотных линий и при определении поправки компаса по Полярной звезде:
По точности и по продолжительности вычислений счислимой высоты и азимута светила, все формулы примерно одинаковые и выбор определяется личными предпочтениями и навыками штурмана и наличием вспомогательных таблиц.
Начинающих осваивать Мореходную астрономию не должно смущать и тревожить обилие формул, во первых, потому что все вместе их не применяют, во вторых, с годами, по мере изучения, к ним привыкают и они уже не будут казаться такими пугающими. Как говорил французский математик Jean Le Rond D’Alembert: «Идите, идите вперёд – уверенность придет к вам позже».
© Автор, капитан В.Н. Филимонов.
© Копирайт — Copyright.
Все графические изображения и фотографии, размещенные на сайте, защищены авторским правом. Любое их использование, возможно только с разрешения правообладателя. При цитировании текста, полностью или фрагментарно, ссылка на источник и автора обязательны.